Question

2．已知函數(shù)y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n為實(shí)數(shù)）
（1）當(dāng)m，n取何值時(shí)，此函數(shù)是我們學(xué)過(guò)的哪一類(lèi)函數(shù)？它一定與x軸有交點(diǎn)嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
（2）若它是一個(gè)二次函數(shù)，假設(shè)n＞-1，那么：
①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，請(qǐng)判斷這個(gè)命題的真假并說(shuō)明理由；
②它一定經(jīng)過(guò)哪個(gè)點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 認(rèn)真審題，首先根據(jù)我們所學(xué)過(guò)的三類(lèi)函數(shù)進(jìn)行分析，并分類(lèi)討論，可得出第一題的答案，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行分析可得出第二問(wèn)的答案．

解答 解：（1）①當(dāng)m=1，n≠-2時(shí)，函數(shù)y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n為實(shí)數(shù)）是一次函數(shù)，它一定與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，
∵當(dāng)y=0時(shí)，（n+1）x^m+mx+1-n=0，∴x=$\frac{1-n}{n+2}$，
∴函數(shù)y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n為實(shí)數(shù)）與x軸有交點(diǎn)；
②當(dāng)m=2，n≠-1時(shí)，函數(shù)y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n為實(shí)數(shù)）是二次函數(shù)，
當(dāng)y=0時(shí)，y=（n+1）x^m+mx+1-n=0，
即：（n+1）x²+2x+1-n=0，
△=2²-4（1+n）（1-n）=4n²≥0；
∴函數(shù)y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n為實(shí)數(shù)）與x軸有交點(diǎn)；
③當(dāng)n=-1，m≠0時(shí)，函數(shù)y=（n+1）x^m+mx+1-n是一次函數(shù)，當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{n-1}{m}$，
∴函數(shù)y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n為實(shí)數(shù)）與x軸有交點(diǎn)；

（2）①假命題，若它是一個(gè)二次函數(shù)，
則m=2，函數(shù)y=（n+1）x²+2x+1-n，
∵n＞-1，∴n+1＞0，
拋物線開(kāi)口向上，
對(duì)稱(chēng)軸：-$\frac{2a}$=$-\frac{2}{2（n+1）}$=-$\frac{1}{n+1}$＜0，
∴對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，當(dāng)x＜0時(shí)，y有可能隨x的增大而增大，也可能隨x的增大而減小，
②當(dāng)x=1時(shí)，y=n+1+2+1-n=4．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=0．
∴它一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4）和（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合題目，在草紙上畫(huà)出草圖，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵，注意總結(jié)．