Question

11．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx-（a-c）=0．其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．

Answer 1

分析 （1）將x=-1代入原方程可找出b=c，由此可得出△ABC為等腰三角形；
（2）由方程有兩個相等的實數(shù)根結(jié)合根的判別式△=0，可得出a²+b²=c²，由此可得出△ABC為直角三角形；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出原方程為x²+x=0，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將x=-1代入原方程得：（a+c）-2b-（a-c）=2c-2b=0，
即b=c，
∴△ABC為等腰三角形．
（2）∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=（2b）²+4（a+c）（a-c）=4b²+4a²-4c²=0，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC為直角三角形．
（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴a=b=c，
∴原方程為x²+x=x（x+1）=0，
解得：x₁=0，x₂=-1．

點評 本題考查了根的判別式、等腰三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是：（1）將x=-1代入原方程找出b=c；（2）由根的判別式△=0找出a²+b²=c²；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)將原方程變形為x²+x=0．