Question

4．如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P位于直徑AB的兩側(cè)，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，直線PQ經(jīng)過B點(diǎn)，AB=10．
（1）如圖1，當(dāng)CP 經(jīng)過圓心O時(shí)，求證：△PCB≌△ABC．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在$\widehat{AB}$的中點(diǎn)時(shí)，求弦PB的長．
（3）如圖3，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)（此時(shí)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合），過C 點(diǎn)作PQ的垂線CD，垂足為D點(diǎn)，若CD+BD=12，求線段CD被⊙O所截取的弦CE的長．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90度可證明∠ACB=∠CBP=90°，接下來，依據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得到∠CAB=∠CPB，然后依據(jù)AAS可證明△PCB≌△ABC；
（2）連接OP．可得到△BOP為等腰直角三角形，然后由PB=$\sqrt{2}$OB求解即可；
（3）如圖3所示：過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，過點(diǎn)O作OG⊥CE，連接OE．首先證明△AFC∽△BDC，設(shè)CF=DB=x，則CD=12-x，AF=x-2．依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得：x=3或x=4，然后在△OEG中，依據(jù)勾股定理可求得GE的長，從而可得到CE的長．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵AB和CP都是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠CBP=90°．
在△PCB和△ABC中$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠CBP=90°}\\{∠CAB=∠CPB}\\{AB=CP}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△ABC．
（2）如圖2：連接OP．

∵點(diǎn)P在$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴∠BOP=90°．
∴PB=$\sqrt{2}$OB=5$\sqrt{2}$．
（3）如圖3所示：過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，過點(diǎn)O作OG⊥CE，連接OE．

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠ABC+∠CBD=90°，
∴∠CAF=∠CBD．
∵CF⊥AB，CD⊥BQ，
∴∠AFC=∠BDC．
∴△AFC∽△BDC．
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{CD}{BD}$．
設(shè)CF=DB=x，則CD=12-x，AF=x-2．
∴$\frac{x}{2-x}=\frac{12-x}{x}$．
解得：x=3或x=4．
當(dāng)x=3時(shí)，OG=3．
在△OEG中，GE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{G}^{2}}$=4．
∴CE=8．
當(dāng)x=4時(shí)，OG=4．
在△OEG中，GE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{G}^{2}}$=3．
∴CE=6．
綜上所述CE的長為6或8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．