Question

3．如圖，AB切⊙O于點B，OA=5$\sqrt{5}$，tanA=$\frac{1}{2}$，弦BC∥OA
（1）求AB的長
（2）求四邊形AOCB的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由∠A的正切值可設(shè)OB=x，則AB=2x，再利用勾股定理計算即可；
（2）過點O作OD⊥BC于點D，易證∠A=∠BOD，則tan∠BOD=tan∠A=$\frac{1}{2}$，進而可求出OD，BC的值，再利用梯形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）連接OB，
∵AB切⊙O于點B，
∴∠ABO=90°，
設(shè)OB=x，
在Rt△ABO中，tanA=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)OB=x，則AB=2x，
∵OA=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=5$\sqrt{5}$，
解得：x=5，
∴AB=10；
（2）過點O作OD⊥BC于點D，
∵BC∥OA，
∴∠AOB=∠DBO，
∵∠A+∠AOB=90°，∠BOD+∠AOB=90°，
∴∠A=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠A=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\sqrt{5}$，OD=2$\sqrt{5}$，
∵OD⊥BC，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
∴四邊形AOCB的面積=$\frac{1}{2}$（OA+BC）OD=35．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，用到的知識點有勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)以及梯形的面積公式，解題的關(guān)鍵是連接切點和圓心構(gòu)造直角三角形，對于此類題目往往是過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．