Question

5．如圖，由12個形狀、大小完全相同的小矩形組成一個大的矩形網(wǎng)格，小矩形的頂點(diǎn)稱為這個矩形網(wǎng)格的格點(diǎn)，已知這個大矩形網(wǎng)格的寬為4，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)．
（1）求每個小矩形的長與寬；
（2）在矩形網(wǎng)格中找出所有的格點(diǎn)E，使△ABE為直角三角形；（描出相應(yīng)的點(diǎn)，并分別用E₁，E₂…表示）
（3）求sin∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)每個小矩形的長為x，寬為y，根據(jù)圖形可知小矩形的長與寬間的數(shù)量關(guān)系有兩個：2個矩形的寬=矩形的長；兩個矩形的寬+1個矩形的長=4，據(jù)此列出方程組，并解答即可；
（2）利用圖形和勾股定理逆定理進(jìn)行解答；
（3）利用面積法求得邊AC上的高，然后由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答．

解答 解：（1）設(shè)每個小矩形的長為x，寬為y，
依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{2y=x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以每個小矩形的長為2，寬為1；

（2）如圖所示：
；

（3）由圖可知，S_△ABC=4，設(shè)AC邊上的高線為h，可知，$\frac{1}{2}$AC•h=4．
∵由圖可計算AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{13}$，
∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ACB=$\frac{h}{BC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{13}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{65}$．

點(diǎn)評 本題考查了四邊形綜合題，需要掌握二元一次方程組的應(yīng)用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和觀察圖形的能力，求三角函數(shù)值需構(gòu)建直角三角形是解此類題的常用作法．