Question

17．【探究】
已知，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在四邊形ABCD的四條邊上，且EF⊥GH．
（1）如圖1，若四邊形ABCD為正方形，EF=a，則GH=a；
（2）如圖2，若四邊形ABCD為矩形，AB=a，BC=b，求$\frac{EF}{GH}$的值．
【拓展】
如圖3，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且AE⊥BF，若∠BCD=90°，AB=BC=20，AD=CD=10，求$\frac{AE}{BF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠EFN=∠GHM，進(jìn)而得出△MGH≌△NEF，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法判斷出∠MGH=∠NEF，從而得出△FEN∽△HGM，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△ABD≌△CBD，再用勾股定理即可求出BG，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)G作GM⊥CD于M，過點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，
∴∠GMH=∠ENF=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∴GM=EN，
∵EF⊥GH，∠B=90°，
∴∠BGH+∠BFE=180°，
∵∠BGM=90°，
∴∠MGH+∠EFN=90°，
∵EF⊥GH，∠C=90°，
∴∠EFN=∠GHM，
∴∠MGH=∠NEF，
在△MGH和△NEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MGE=∠NEF}\\{GM=EN}\\{∠GMH=∠ENF}\end{array}\right.$，
∴△MGH≌△NEF，
∴GH=EF=a，
故答案為a；

（2）如圖2，過點(diǎn)G作GM⊥CD于M，過點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，
∴E
N=AB，GM=BC，
同（1）的得，∠MGH=∠NEF，
∵∠GMH=∠ENF，
∴△FEN∽△HGM，
∴$\frac{EF}{GH}=\frac{EN}{GM}$，
∴$\frac{EF}{GH}=\frac{AB}{BC}=\frac{a}$；

（3）如圖3，過點(diǎn)A作GH∥BC，過點(diǎn)B作BG⊥GH于點(diǎn)G，延長CD交GH于點(diǎn)H，連接BD，
∴四邊形BCHG是矩形，
在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{AD=CD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠BAD=∠C=90°，
∴△ADH∽△BAG，
∴$\frac{DH}{AG}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
設(shè)DH=x，
∴AG=2x，BG=x+10，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，（2x）²+（x+10）²=400，
∴x=-10（舍）或x=6，
由（2）知，$\frac{AE}{BF}=\frac{BG}{BC}=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解（1）的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△FEN∽△HGM，解（3）的關(guān)鍵是求出BG是一道很好的中考�？碱}．