Question

3．如圖，已知BC是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于點(diǎn)P，交劣弧AB于點(diǎn)D．
（1）請寫出三個不同的正確結(jié)論；
（2）若AB=8，DP=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)垂徑定理有PA=PB，又BC是直徑，那么∠CAB=90°，而∠OPB=90°，那么∠CAB=∠OPB，利用同位角相等兩直線平行可知OD∥AC．
（2）根據(jù)AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥AB于P，得出PA=BP，設(shè)半徑為R，則BP=4，OP=R-2，得到R²=（R-2）²+4²，再解方程即可．

解答 解：（1）結(jié)論：PA=PB，∠CAB=90°，AC∥OD．
證明：∵OD⊥AB，OD是半徑，
∴PA=PB，
∵BC是直徑，
∴∠CAB=90°，
又∵OD⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠OPB，
∴OD∥AC．
（2）∵BC是⊙O的直徑，AB是弦，OD⊥AB于點(diǎn)P，
∴OD垂直平分AB，
∵AB=8，DP=2
設(shè)半徑為R，則PB=4，OP=R-2，
∴R²=（R-2）²+4²
∴R=5．
∴⊙O的半徑是5．

點(diǎn)評 本題考查了垂徑定理、直徑所對的圓周角等于90°、平行線的判定、勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確地構(gòu)造直角三角形．