Question

16．如圖，已知長方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E為CD邊的中點(diǎn)，P為長方形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿著A→B→C→E運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)停止，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x，△APE的面積為y．
（1）求當(dāng)x=2時(shí)，x=5時(shí)，對應(yīng)y的值；
（2）寫出y與x之間的關(guān)系式；
（3）當(dāng)y=9時(shí)，求x的值；
（4）當(dāng)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△APE的周長最小？若存在，求出此時(shí)∠PAD的度數(shù)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面積求法S_△AP′E=S_梯形ABCE-S_△ABP′-S_△P′CE，分別得出答案；
（2）利用當(dāng)0≤x≤4時(shí)，當(dāng)4＜x≤10時(shí)，當(dāng)10＜x≤12時(shí)，分別得出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）利用（2）中所求，利用y=9，求出x的值即可；
（4）利用軸對稱求最短路線的方法得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出答案．

解答 解：（1）如圖1，∵長方形ABCD中，BC=AD=6，
∴當(dāng)x=2時(shí)，則AP=2，故y=S_△APE=$\frac{1}{2}$×2×6=6；
∵長方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∴當(dāng)x=5時(shí)，則BP′=1，
故y=S_△AP′E=S_梯形ABCE-S_△ABP′-S_△P′CE
=$\frac{1}{2}$（AB+EC）×BC-$\frac{1}{2}$×AB×BP′-$\frac{1}{2}$P′C×EC
=$\frac{1}{2}$（4+2）×6-$\frac{1}{2}$×1×4-$\frac{1}{2}$×5×2
=11；

（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x×6=3x；
當(dāng)4＜x≤10時(shí)，P在BC上，
y=S_梯形ABCE-S_△ABP′-S_△P′CE
=18-$\frac{1}{2}$×4×（x-4）-$\frac{1}{2}$（10-x）×2
=16-x；
當(dāng)10＜x≤12時(shí)，P在EC上，
y=$\frac{1}{2}$×6×（12-x）=36-3x
綜上所述：$y=\left\{\begin{array}{l}3x，0≤x≤4\\ 16-x，4＜x≤10\\ 36-3x，10＜x≤12\end{array}\right.$；

（3）當(dāng)y=9時(shí)，9=3x，解得：x=3，
9=16-x，解得：x=7，
9=36-3x，解得：x=9（不合題意舍去）
綜上所述：x的值3，7；

（4）存在，
理由：如圖2，延長DC，作E點(diǎn)的對稱點(diǎn)E′，連接AE′，交BC于點(diǎn)P，
此時(shí)△APE的周長最小，
∵AB∥EC，
∴△ABP∽△E′CP，
∴$\frac{AB}{E′C}$=$\frac{BP}{PC}$，
∴$\frac{4}{2}$=$\frac{BP}{6-BP}$，
解得：BP=4，
則PC=2，
∴PC=CE′=2，
∴∠AE′D=45°，
∴∠PAD的度數(shù)為45°．

點(diǎn)評 此題主要考查了四邊形綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形面積求法等知識(shí)，利用分段求出y與x的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．