Question

6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE．過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足是F，連接OF，則OF的長為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 在BE上截取BG=CF，連接OG，如圖所示：先由SAS證明△OBG≌△OCF，得出OG=OF，∠BOG=∠COF，證出OG⊥OF，由射影定理求出BE、BF、CF、GF，再由勾股定理即可求出OF的長．

解答 解在BE上截取BG=CF，連接OG，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=3，∠BCD=∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，OB=OC，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG與△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBG=∠OCF}\\{BG=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在Rt△BCE中，BC=DC=4，DE=CE，
∴CE=2，
∴BE=$\sqrt{B{E}^{2+}C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
根據(jù)射影定理得：BC²=BF•BE，
則4²=BF•2$\sqrt{5}$，解得：BF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=BE-BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵CF²=BF•EF，
∴CF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴GF=BF-BG=BF-CF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在等腰直角△OGF中，OF²=$\frac{1}{2}$GF²=$\frac{8}{5}$，
∴OF=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、射影定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．