Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長度，運(yùn)用勾股定理求出AB，再運(yùn)用S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CM=$\frac{1}{2}$AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．

解答 解：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，

∵AD是∠BAC的平分線．
∴PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CM=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CM=$\frac{AC•BC}{AB}=\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．
故答案為：$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)P和Q的位置．