Question

8．解決問題：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的一個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸正半軸上，面積等于8，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的圖象過正方形ABCO的頂點(diǎn)B，E點(diǎn)是y=$\frac{k}{x}（k≠0）$圖象上異于B點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過E作ED垂直x軸于點(diǎn)D，作EF垂直y軸于F．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)E點(diǎn)在第一象限，且A、D、B、C四點(diǎn)圍成的四邊形是平行四邊形時，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，A、D、B、C四點(diǎn)圍成的四邊形面積為S，求S與a間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出k的值即可；
（2）先求出BC的長，再由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再分a＞4$\sqrt{2}$，0＜a＜4$\sqrt{2}$與a＜0三種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵正方形ABCO的一個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸正半軸上，面積等于8，
∴k=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$；

（2）∵正方形ABCO的面積是8，
∴BC=OA=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$．
∵BC∥EF，
∴只有AD=BC時，A、D、B、C四點(diǎn)圍成的四邊形是平行四邊形，
∴AD=4$\sqrt{2}$，
∴E（4$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；

（3）∵由（2）知，當(dāng)E（4$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）時，四邊形ADBC是平行四邊形，
∴根據(jù)點(diǎn)E橫坐標(biāo)a的變化，AD的長度發(fā)生變化，BC不變，AD∥BC．
分三種情況討論梯形的面積S與a的關(guān)系：
當(dāng)a＞4$\sqrt{2}$時，S=$\frac{2\sqrt{2}+A-2\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$a（當(dāng)a=4$\sqrt{2}$時，點(diǎn)A、D重合，此時ADBC不是四邊形，且與E異于B矛盾）；
當(dāng)0＜a＜4$\sqrt{2}$時，S=$\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-a}{2}$×2$\sqrt{2}$=8-$\sqrt{2}$a；
當(dāng)a＜0時，S=$\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-a}{2}$×2$\sqrt{2}$=8-$\sqrt{2}$a，
綜上所述，當(dāng)a＞4$\sqrt{2}$時，S=$\sqrt{2}$a；當(dāng)a＜4$\sqrt{2}$時，S=8-$\sqrt{2}$a．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的判定與性質(zhì)、梯形的面積公式等知識，在解答（3）時要注意進(jìn)行分類討論．