Question

13．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設(shè)過點A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D．
（1）如圖1，已知點A，B，C的坐標分別為（-2，0），（8，0），（0，-4）；
①求此拋物線的函數(shù)解析式；
②若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值；
（2）如圖2，若a=1，c=-4，求證：無論b取何值，點D的坐標均不改變．

Answer 1

分析 （1）①只需運用待定系數(shù)法就可解決問題；②過點M作ME∥y軸，交BD于點E，連接BC，如圖1．根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，從而可得AB為直徑，根據(jù)垂徑定理可得OD=OC，即可得到D（0，4），然后運用待定系數(shù)法可求得直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，設(shè)M（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），則E（x，-$\frac{1}{2}$x+4），從而得到ME=-$\frac{1}{4}$x²+x+8，運用割補法可得S_△BDM=S_△DEM+S_△BEM=-（x-2）²+36，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值性就可求出△BDM的面積的最大值；
（2）連接AD、BC，如圖2．若a=1，c=-4，則拋物線的解析式為y=x²+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．設(shè)點A（x₁，0），B（x₂，0），則OA=-x₁，OB=x₂，且_x1、x₂是方程x²+bx-4=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四點共圓可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，從而可得△ADO∽∽△CBO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OC•OD=OA•OB=4，從而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而無論b取何值，點D的坐標均不改變．

解答 解：（1）①∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
②過點M作ME∥y軸，交BD于點E，連接BC，如圖1．
∵A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∴AB=10，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴AB為直徑．
∵CD⊥AB，
∴OD=OC，
∴D（0，4）．
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n．
∵B（8，0），D（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=0}\\{n=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
設(shè)M（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），則E（x，-$\frac{1}{2}$x+4），
∴ME=（-$\frac{1}{2}$x+4）-（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4）=-$\frac{1}{4}$x²+x+8，
∴S_△BDM=S_△DEM+S_△BEM
=$\frac{1}{2}$ME（x_E-x_D）+$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_E）=$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_D）
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{4}$x²+x+8）×8=-x²+4x+32=-（x-2）²+36．
∵0＜x＜8，
∴當(dāng)x=2時，△BDM的面積有最大值為36；

（2）連接AD、BC，如圖2．
若a=1，c=-4，則拋物線的解析式為y=x²+bx-4，
則C（0，-4），OC=4．
設(shè)點A（x₁，0），B（x₂，0），
則OA=-x₁，OB=x₂，且x₁、x₂是方程x²+bx-4=0的兩根，
∴OA•OB=-x₁•x₂=-（-4）=4．
∵A、D、B、C四點共圓，
∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，
∴△ADO∽△CBO，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴OC•OD=OA•OB=4，
∴4OD=4，
∴OD=1，
∴D（0，1），
∴無論b取何值，點D的坐標均不改變．

點評 本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理的逆定理、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式等知識，運用割補法及配方法是解決第（1）②小題的關(guān)鍵，運用根與系數(shù)的關(guān)系及相似三角形的性質(zhì)是解決第（1）②小題的關(guān)鍵．