Question

5．已知△ABC的兩邊AB，AC的長關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為4，若△ABC是等腰三角形，則k=3或4，△ABC的周長為14或16．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值即可．

解答 解：∵△ABC是等腰三角形，
∴當(dāng)AB=AC時(shí)，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0，
解得k不存在；
當(dāng)AB=BC時(shí)，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6；
當(dāng)BC=AC時(shí)，即AC=5，同理求得AB=4或6；
∴△ABC的周長為14或16．
故答案為：3或4，14或16．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的解法，直角三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，利用分類討論是解題的關(guān)鍵．