Question

18．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交另一個(gè)反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的圖象于點(diǎn)B，且S_△AOB=5．
（1）k的值為-8；
（2）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，
①求∠AOB的度數(shù)；
②在y₂的圖象上找一點(diǎn)P（異于點(diǎn)B），使S_△AOP=S_△AOB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C，由點(diǎn)A是反比例函數(shù)y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，AB∥x軸，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得△AOC的面積，又由△AOB的面積等于5，可求得△BOC的面積，繼而求得k的值；
（2）①由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可求得AB，OA，OB的長，然后由勾股定理的逆定理，求得∠AOB的度數(shù)；
②過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)P（x，-$\frac{8}{x}$），根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S_△NOP=$\frac{1}{2}$×8=4，S_△AOM=$\frac{1}{2}$×2=1．由S_△AOP=S_{△梯形APNM}-S_△NOP-S_△AOM=S_△AOB=5，列出方程$\frac{1}{2}$（2-$\frac{8}{x}$）×（1-x）-4-1=5，解方程即可．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C，
∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，且AB∥x軸，
∴AB⊥y軸，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵S_△AOB=5，
∴S_△BOC=4，
∵反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的圖象過點(diǎn)B，AB⊥y軸，
∴-$\frac{1}{2}$k=4，
∴k=-8；
故答案為：-8；

（2）①∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，
∴y=$\frac{2}{1}$=2，
∴點(diǎn)A（1，2），
∵AB∥x軸，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，
∴2=-$\frac{8}{x}$，
解得：x=-4，
∴點(diǎn)B（-4，2），
∴AB=AC+BC=1+4=5，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°；

②如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)P（x，-$\frac{8}{x}$），
則S_△NOP=$\frac{1}{2}$×8=4，S_△AOM=$\frac{1}{2}$×2=1．
∵S_△AOP=S_{△梯形APNM}-S_△NOP-S_△AOM=S_△AOB=5，
∴$\frac{1}{2}$（2-$\frac{8}{x}$）×（1-x）-4-1=5，
整理，得x²+5x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=-4（不合題意舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，8）．

點(diǎn)評 此題考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的逆定理，圖形的面積等知識．注意第（2）問②中，設(shè)P（x，-$\frac{8}{x}$），根據(jù)S_△AOP=S_{△梯形APNM}-S_△NOP-S_△AOM=S_△AOB=5列出方程是關(guān)鍵．