Question

1．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CD，AE．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）當(dāng)∠BAC的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形AECD是正方形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由ASA證明△CEF≌△ADF，得出對(duì)應(yīng)邊相等EF=DF，證出四邊形AECD是平行四邊形，再由對(duì)角線互相垂直，即可得出四邊形AECD是菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)得出∠EAC=∠BAC=45°，得出∠EAD=90°，即可得出四邊形AECD是正方形．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，DF⊥AC，
∴DF∥BC，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，
∴F是AC的中點(diǎn)，
∴AF=CF，
∵CE∥AB，
∴∠ECF=∠DAF，
在△CEF和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECF=∩DAF}&{\;}\\{CF=AF}&{\;}\\{∠EFC=∠DFA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△ADF（ASA），
∴EF=DF，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
又∵DF⊥AC，
∴四邊形AECD是菱形；
（2）解：當(dāng)∠BAC=45°時(shí)，四邊形AECD是正方形；理由如下：
∵四邊形AECD是菱形，
∴∠EAC=∠BAC=45°，
∴∠EAD=90°，
∴四邊形AECD是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定方法、菱形的判定方法、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形和正方形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．