Question

8．如圖，A（2，1）是矩形OCBD的對角線OB上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點(diǎn)A，交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，若CE=$\frac{2}{3}$．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）連接EF、DC，求證：EF∥DC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$中可求出k的值，從而得到雙曲線解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x，再利用E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{2}{3}$和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可確定E（3，$\frac{2}{3}$），接著根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定B（3，$\frac{3}{2}$），則F的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
然后再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定F點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先得到BD=3，BC=$\frac{3}{2}$，BF=$\frac{5}{3}$，BE=$\frac{5}{6}$，再通過計(jì)算得到$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{5}{9}$，加上∠FBE=∠DBC，則可判斷△BFE∽△BDC，所以∠BFE=∠BDC，于是可判斷EF∥CD．

解答 解：（1）把A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k+1×2=2，
所以雙曲線解析式為y=$\frac{2}{x}$；
（2）設(shè)直線OB解析式為y=ax，
把A（2，1）坐標(biāo)代入得：1=2a，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∵四邊形OCBD為矩形，CE=$\frac{2}{3}$，
∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{2}{3}$，
當(dāng)y=$\frac{2}{3}$時(shí)，$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{3}$，解得x=3，則E（3，$\frac{2}{3}$），
∴B的橫坐標(biāo)為3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$，則B（3，$\frac{3}{2}$），
∴F的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
當(dāng)y=$\frac{3}{2}$時(shí)，$\frac{2}{x}$=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴F（$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）∵B（3，$\frac{3}{2}$），F(xiàn)（$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$），E（3，$\frac{2}{3}$），
∴BD=3，BC=$\frac{3}{2}$，BF=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，BE=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{5}{9}$，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$，
而∠FBE=∠DBC，
∴△BFE∽△BDC，
∴∠BFE=∠BDC，
∴EF∥CD．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．