Question

9．如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個(gè)位排出的一串?dāng)?shù)字是6，4，7，4，6，從個(gè)位到最高位排出的一串?dāng)?shù)字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數(shù)”．
（1）請你直接寫出3個(gè)四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個(gè)四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除，并說明理由；
（2）已知一個(gè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“和諧數(shù)”寫出四個(gè)四位數(shù)的“和諧數(shù)”；設(shè)任意四位數(shù)“和諧數(shù)”形式為：abba（a、b為自然數(shù)），則這個(gè)四位數(shù)為a×10³+b×10²+b×10+a=1001a+110b，利用整數(shù)的整除得到$\frac{1001a+110b}{11}$=91a+10b，由此可判斷任意四位數(shù)“和諧數(shù)”都可以被11整除；
（2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：xyx，則這個(gè)三位數(shù)為x•10²+y•10+x=101x+10y，由于$\frac{101x+10y}{11}$=9x+y+$\frac{2x-y}{11}$，根據(jù)整數(shù)的整除性得到2x-y=0，于是可得y與x的關(guān)系式．

解答 解：（1）四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666；
任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”都能被11整數(shù)，理由如下：
設(shè)任意四位數(shù)“和諧數(shù)”形式為：abba（a、b為自然數(shù)），則a×10³+b×10²+b×10+a=1001a+110b，
∵$\frac{1001a+110b}{11}$=91a+10b
∴四位數(shù)“和諧數(shù)”abba能被11整數(shù)；
∴任意四位數(shù)“和諧數(shù)”都可以被11整除
（2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：xyx，則x•10²+y•10+x=101x+10y，
$\frac{101x+10y}{11}$=9x+y+$\frac{2x-y}{11}$，
∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除，
∴2x-y=0，
∴y=2x（1≤x≤4）．

點(diǎn)評 本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計(jì)算問題．靈活利用整數(shù)的整除性．