Question

20．如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，且CD＞DA，DA=2，點P，Q同時從點D出發(fā)，以相同的速度分別沿射線DC、射線DA運動，過點Q作AC的垂線段QR，使QR=PQ，連接PR，當(dāng)點Q到達(dá)點A時，點P，Q同時停止運動．設(shè)PQ=x，△PQR與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤$\frac{8}{7}$，$\frac{8}{7}$＜x≤m時，函數(shù)的解析式不同）．
（1）填空：n的值為$\frac{32}{49}$；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=$\frac{8}{7}$時，△PQR與△ABC重疊部分的面積就是△PQR的面積，然后根據(jù)PQ=$\frac{8}{7}$，QR=PQ，求出n的值是多少即可．
（2）首先根據(jù)S關(guān)于x的函數(shù)圖象，可得S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式有兩種情況：當(dāng)0＜x≤$\frac{8}{7}$時，S=$\frac{1}{2}$×PQ×RQ=$\frac{1}{2}$x²，判斷出當(dāng)點Q點運動到點A時，x=2AD=4，據(jù)此求出m=4；然后求出當(dāng)$\frac{8}{7}$＜x≤4時，S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答 解：（1）如圖1，
，
當(dāng)x=$\frac{8}{7}$時，△PQR與△ABC重疊部分的面積就是△PQR的面積，
∵PQ=$\frac{8}{7}$，QR=PQ，
∴QR=$\frac{8}{7}$，
∴n=S=$\frac{1}{2}$×（$\frac{8}{7}$）²=$\frac{1}{2}$×$\frac{64}{49}$=$\frac{32}{49}$．

（2）如圖2，
，
根據(jù)S關(guān)于x的函數(shù)圖象，可得S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式有兩種情況：
當(dāng)0＜x≤$\frac{8}{7}$時，
S=$\frac{1}{2}$×PQ×RQ=$\frac{1}{2}$x²，
當(dāng)點Q點運動到點A時，
x=2AD=4，
∴m=4．
當(dāng)$\frac{8}{7}$＜x≤4時，
S=S_△APF-S_△AQE=$\frac{1}{2}$AP•FG-$\frac{1}{2}$AQ•EQ，
AP=2+$\frac{x}{2}$，AQ=2-$\frac{x}{2}$，
∵△AQE∽△AQ₁R₁，$\frac{AQ}{{AQ}_{1}}=\frac{QE}{{{Q}_{1}R}_{1}}$，
∴QE=$\frac{4}{5}（2-\frac{x}{2}）$，
設(shè)FG=PG=a，
∵△AGF∽△AQ₁R₁，$\frac{AG}{{AQ}_{1}}=\frac{FG}{{{Q}_{1}R}_{1}}$，
∴AG=2+$\frac{x}{2}$-a，
$\frac{2+\frac{x}{2}-a}{\frac{10}{7}}=\frac{a}{\frac{8}{7}}$
∴a=$\frac{4}{9}（2+\frac{x}{2}）$，
∴S=S_△APF-S_△AQE
=$\frac{1}{2}$AP•FG-$\frac{1}{2}$AQ•EQ
=$\frac{1}{2}$（2$+\frac{x}{2}$）$•\frac{4}{9}$（2$+\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{2}$（2-$\frac{x}{2}$）•$\frac{4}{5}$（2$-\frac{x}{2}$）
=-$\frac{2}{45}$x²+$\frac{56}{45}x$$-\frac{32}{45}$
∴S=-$\frac{2}{45}$x²+$\frac{56}{45}x$$-\frac{32}{45}$．
綜上，可得
S=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{2}x}^{2}，0＜x≤\frac{8}{7}}\\{-{\frac{2}{45}x}^{2}+\frac{56}{45}x-\frac{32}{45}，\frac{8}{7}＜x≤4}\end{array}\right.$
故答案為：$\frac{32}{49}$．

點評 此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．