Question

19．直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點A的坐標為（8，0）．
（1）求k的值；
（2）若點P（x，y）是直線在第一象限內(nèi)的動點（0＜x＜8），試確定點P的坐標，使△OAP的面積為15．
（3）若點P（4，y）是直線AB上的一點，在x軸上確定一點，使得QP+BQ最短，并求出Q點的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接把A的坐標（8，0）代入y=kx+6就可以求出k的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式S_△OPA=$\frac{1}{2}$OA•y，然后把y轉(zhuǎn)換成x，△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式就可以求出了，再把S=15代入的解析式里．就可以求出x，然后確定P的坐標．
（3）首先根據(jù)（1）可求得P的坐標值．再設B關(guān)于x軸的對稱點為B′，連接PB′，交x軸于Q，Q點即為所求．B′點的坐標根據(jù)B點坐標不難求得．因而利用P、B的坐標求得PB′的解析式，再聯(lián)立組成方程組求得Q點的坐標值．

解答 解：（1）把點A（8，0）代入y=kx+6，
得8k+6=0，解得k=-$\frac{3}{4}$；

（2）∵點P（x，y）在第一象限內(nèi)的直線y=-$\frac{3}{4}$x+6上，
∴點P的坐標為（x，-$\frac{3}{4}$x+6）且x＞0，-$\frac{3}{4}$x+6＞0
如圖1，過點P作PD⊥x軸于點D，則△OPA的面積=$\frac{1}{2}$OA×PD
即S=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{3}{4}$x+6），
∴S=-3x+24=15，
解得x=3，
把x=3代入y=-$\frac{3}{4}$x+6，得y=$\frac{15}{4}$，
這時，P有坐標為（3，$\frac{15}{4}$）；
即當P運動到點（3，$\frac{15}{4}$）這個位置時，△OPA的面積為15．

（3）∵點P（4，y）是直線AB上的一點，
∴y=-$\frac{3}{4}$×4+6=3，
即P（4，3），
設B關(guān)于x軸的對稱點為B′，連接PB′，交x軸于Q，Q點即為所求，如圖2．
∵由直線AB的解析式可知B（0，6），
∴B′（0，-6），設經(jīng)過PB′的直線解析式為y=kx+b，于是
$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{9}{4}$，b=-6，
∴PB′的解析式為y=$\frac{9}{4}$x-6，
令y=0時，解得x=$\frac{24}{9}$，
即Q（$\frac{24}{9}$，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，此題綜合性很強，有難度，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用．