Question

14．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E為邊BC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，把三角形ABE沿AE翻折使點(diǎn)B落在正方形ABCD所在平面內(nèi)的點(diǎn)F處，則△ADF的面積為$\frac{18}{5}$或$\frac{63}{26}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到BE=1或BE=2，①當(dāng)BE=1時(shí)，如圖1，②當(dāng)BE=2時(shí)，如圖2，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=AB=3，EF=BE=1，∠AFE=∠B=90°，過F作FN⊥AD于N，延長(zhǎng)NF交BC于M，則MN⊥BC，四邊形ABMN是矩形，得到AN=BM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到FN的值，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E為邊BC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，
∴BE=1或BE=2，
①當(dāng)BE=1時(shí)，如圖1，
由題意得，AF=AB=3，EF=BE=1，∠AFE=∠B=90°，
過F作FN⊥AD于N，延長(zhǎng)NF交BC于M，
則MN⊥BC，四邊形ABMN是矩形，
∴AN=BM，
∵∠AFN+∠FAN=∠AFN+∠EFM=90°，
∴∠FAN=∠EFM，
∴△ANF∽△FME，
∴$\frac{AN}{MF}=\frac{NF}{EM}=\frac{AF}{EF}$=3，
設(shè)NF=x，則FM=3-x，
∴AN=3（3-x），EM=$\frac{1}{3}$x，
∴BM=1+$\frac{1}{3}$x，
∵BM=AN，
∴1+$\frac{1}{3}$x=3（3-x），
∴x=$\frac{12}{5}$，
∴FN=$\frac{12}{5}$，
∴△ADF的面積=$\frac{1}{2}$AD•FN=$\frac{1}{2}×$3×$\frac{12}{5}$=$\frac{18}{5}$；
②當(dāng)BE=2時(shí)，如圖2，
由題意得，AF=AB=3，EF=BE=2，∠AFE=∠B=90°，
過F作FN⊥AD于N，延長(zhǎng)NF交BC于M，
則MN⊥BC，四邊形ABMN是矩形，
∴AN=BM，
∵∠AFN+∠FAN=∠AFN+∠EFM=90°，
∴∠FAN=∠EFM，
∴△ANF∽△FME，
∴$\frac{AN}{MF}=\frac{NF}{EM}=\frac{AF}{EF}$=$\frac{3}{2}$，
設(shè)NF=x，則FM=3-x，
∴AN=$\frac{3}{2}$（3-x），EM=$\frac{2}{3}$x，
∴BM=1+$\frac{2}{3}$x，
∵BM=AN，
∴1+$\frac{2}{3}$x=$\frac{3}{2}$（3-x），
∴x=$\frac{21}{13}$，
∴FN=$\frac{21}{13}$，
∴△ADF的面積=$\frac{1}{2}$AD•FN=$\frac{1}{2}×$3×$\frac{21}{13}$=$\frac{63}{26}$；
綜上所述：△ADF的面積為$\frac{18}{5}$或$\frac{63}{26}$．
故答案為：$\frac{18}{5}$或$\frac{63}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換-折疊問題，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的周長(zhǎng)輔助線是解題的關(guān)鍵．