Question

4．對于點E和四邊形ABCD，給出如下定義：在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，則稱E為四邊形ABCD邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們稱E為四邊形ABCD邊AB上的“強相似點”．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，點E是AB邊上一點，∠DEC=45°，試判斷點E是否是四邊形ABCD邊AB上的相似點，并證明你的結(jié)論正確；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3．
①在AB邊上是否存在點E，使點E為四邊形ABCD邊AB上的“強相似點”．若存在，有幾個？試在圖2中畫出所有強相似點；
②在①所畫圖形的基礎上求AE的長．

Answer 1

分析 （1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解；
（2）①以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求；②連接DE、CE．設AE=x，則EB=8-x，AD=3，根據(jù)點E是四邊形ABCD邊AB上的“強相似點”．得到△ADE∽△BCE，于是得到$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$，代入相關數(shù)據(jù)$\frac{3}{8-x}=\frac{x}{3}$，解方程即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）由圖可知，∠A=∠B=45°，
∵∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

（2）①如圖1所示，在AB邊上存在點E，使點E為四邊形ABCD邊AB上的“強相似點”，這樣的點有2個，點E，E′即為所求；
②連接DE、CE．
設AE=x，
∴EB=8-x，AD=3，
∵點E是四邊形ABCD邊AB上的“強相似點”．
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$，
∵AD=BC=3，
∴$\frac{3}{8-x}=\frac{x}{3}$，
解得：x=4±$\sqrt{7}$，
∴AE=4+$\sqrt{7}$或AE=4-$\sqrt{7}$．

點評 本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對應邊成比例的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解強相似點的定義是解題的關鍵．