Question

4．已知：如圖，在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0），經(jīng)過D點，交BC的延長線于E點，且OB•AC=160，有下列四個結論：
①雙曲線的解析式為y=$\frac{20}{x}$（x＞0）；②E點的坐標是（4，8）；③sin∠COA=$\frac{4}{5}$；④AC+OB=12$\sqrt{5}$
（1）其中正確的結論有：②③④．
（2）對你的判斷說明理由．

Answer 1

分析 過點C作CF⊥x軸于點F，由OB•AC=160可求出菱形的面積，由A點的坐標為（10，0）可求出CF的長，由勾股定理可求出OF的長，故可得出C點坐標，對角線OB、AC相交于D點可求出D點坐標，用待定系數(shù)法可求出雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的解析式，由反比例函數(shù)的解析式與直線BC的解析式聯(lián)立即可求出E點坐標；由sin∠COA=$\frac{CF}{OC}$可求出∠COA的正弦值；根據(jù)A、C兩點的坐標可求出AC的長，由OB•AC=160即可求出OB的長．

解答 解：（1）正確的結論有：②③④；
（2）理由如下：
解：過點C作CF⊥x軸于點F，
∵OB•AC=160，A點的坐標為（10，0），
∴OA•CF=$\frac{1}{2}$OB•AC=$\frac{1}{2}$×160=80，菱形OABC的邊長為10，
∴CF=$\frac{80}{OA}$=$\frac{80}{10}$=8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴C（6，8），
∵點D時線段AC的中點，
∴D點坐標為（$\frac{10+6}{2}$，$\frac{8}{2}$），即（8，4），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過D點，
∴4=$\frac{k}{8}$，即k=32，
∴雙曲線的解析式為：y=$\frac{32}{x}$（x＞0），故①錯誤；
∵CF=8，
∴直線CB的解析式為y=8，
聯(lián)立直線BC和反比例函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{32}{x}}\\{y=8}\end{array}\right.$，解得x=4，y=8，
∴E點坐標為（4，8），故②正確；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=$\frac{CF}{OC}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，故③正確；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=$\sqrt{（10-6）^{2}+（0-8）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵OB•AC=160，
∴OB=$\frac{160}{AC}$=$\frac{160}{4\sqrt{5}}$=8$\sqrt{5}$，
∴AC+OB=4$\sqrt{5}$+8$\sqrt{5}$=12$\sqrt{5}$，故④正確．
故答案為：②③④．

點評 本題主要考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到菱形的性質及反比例函數(shù)的性質、銳角三角函數(shù)的定義等相關知識，難度適中．