Question

17．小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：
定義：如果二次函數(shù)y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
求函數(shù)y=x²-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x²-3x-2可知，a₁=1，b₁=-3，c₁=-2，根據(jù)a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
請(qǐng)參考小明的方法解決下面問題：
（1）直接寫出函數(shù)y=x²-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
（2）若函數(shù)y=-x²+$\frac{3}{5}$mx-3與y=x²-3nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求$（\frac{4}{15}m+n{）^{2015}}$的值；
（3）已知函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A₁，B₁，C₁，試證明經(jīng)過點(diǎn)A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)與函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂=-1，b₂=-3，c₂=-2，從而求出函數(shù)y=x²-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)函數(shù)的定義意得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\ \frac{3}{5}m=-3n\end{array}\right.$，從而得到m=-15，n=3，進(jìn)而求出求$（\frac{4}{15}m+n{）^{2015}}$的值；
（3）根據(jù)題意得A（-1，0），B（4，0），C（0，2），得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），從而求出兩個(gè)函數(shù)解析式，進(jìn)而得到兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

解答 解：（1）在y=x²-3x-2中，a₁=1，b₁=-3，c₁=-2，
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴a₂=-1，b₂=-3，c₂=-2，
可得函數(shù)y=x²-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=-x²-3x+2；
（2）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\ \frac{3}{5}m=-3n\end{array}\right.$，
∴m=-15，n=3．
∴（$\frac{4}{15}$m+n）²⁰¹⁵=[$\frac{4}{15}$×（-15）+3]²⁰¹⁵=-1，
（3）題意得A（-1，0），B（4，0），C（0，2），得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），
又y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）即y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，經(jīng)過點(diǎn)A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)為
y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，熟悉待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，明確確旋轉(zhuǎn)函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．