Question

7．如圖，等腰△ABC中，AB=CB，M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠MAC+∠MCB=∠MCA=30°
（1）求證：△ABM為等腰三角形；
（2）求∠BMC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）以AC為邊作等邊三角形ACE，使B、E在AC的同側(cè)，連接BE，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AE=CE，∠AEC=60°，設(shè)∠MCB=θ，∠ABM=α，∠CBM=β，根據(jù)SSS推出△ABE≌△CBE，根據(jù)全等得出∠AEB=∠BEC=30°=∠ACM，∠BAE=∠BCE，求出∠BAE=∠MAC，根據(jù)ASA推出△ABE≌△AMC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=AM即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAC=∠BCA=30°+θ，求出∠BAM=2θ，求出α=90°-θ，β=30°-θ，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．

解答 （1）證明：如圖：

以AC為邊作等邊三角形ACE，使B、E在AC的同側(cè)，連接BE，
則AE=CE，∠AEC=60°，
設(shè)∠MCB=θ，∠ABM=α，∠CBM=β，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{BE=BE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SSS），
∴∠AEB=∠BEC=30°=∠ACM，∠BAE=∠BCE，
∵∠BAE=∠BCE=∠ECA-（∠BCM+∠MCA）=30°-θ=∠MAC，
在△ABE和△AMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠ACM}\\{AE=AC}\\{∠BAE=∠CAM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AMC（ASA），
∴AB=AM，
∴△ABM是等腰三角形；

（2）解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°+θ，
∵∠MAC=30°-θ，
∴∠BAM=（30°+θ）-（30°-θ）=2θ，
∵AB=AM，
∴∠ABM=∠AMB=α，
∴α=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAM）=90°-θ，
∴β=180°-∠BAC-∠BCA-α=30°-θ，
∴∠BMC=180°-β-θ=150°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合比較強(qiáng)，難度偏大．