Question

3．已知：如圖，一次函數(shù)y₁=x+5的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點，當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂．
（1）直接寫出反比例函數(shù)y₂的解析式；
（2）過點D（t，0）（t＞0）作x軸的垂線，分別交雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$和直線y₁=x+5于P、Q兩點，若PQ=3PD時，求t的值；
（3）若直線l過點D（-2，-3），且與函數(shù)y=$\frac{k}{|x|}$的圖象恰好有2個交點．
①在網(wǎng)格中畫出y=$\frac{k}{|x|}$的圖象；
②請直接寫出直線l的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂，可得A點的橫坐標(biāo)是1，進而得出A（1，6），代入y₂=$\frac{k}{x}$，可得k的值；
（2）設(shè)P（t，$\frac{6}{t}$），Q（t，t+5），根據(jù)PQ=3PD，可得方程t+5-$\frac{6}{t}$=3×$\frac{6}{t}$，進而得到t的值；
（3）①根據(jù)函數(shù)y=$\frac{k}{|x|}$畫出其圖象即可；②設(shè)直線l的解析式為y=mx+2m-3，令$\frac{6}{-x}$=mx+2m-3，則mx²+（2m-3）x+6=0，根據(jù)直線l與函數(shù)y=$\frac{6}{-x}$（x＜0）相切，即可得到△=（2m-3）²-4m×6=0，得出m的值即可得到直線l的解析式．

解答 （1）∵當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂，
∴A點的橫坐標(biāo)是1，縱坐標(biāo)為y=1+5=6，
∴A（1，6），
代入y₂=$\frac{k}{x}$，可得k=xy=6，
∴y₂=$\frac{6}{x}$；

（2）如圖所示，當(dāng)PQ=3PD時，直線PQ在點A的右側(cè)，

∵直線PQ分別交雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$和直線y₁=x+5于P、Q兩點，
∴P（t，$\frac{6}{t}$），Q（t，t+5），
∵PQ=3PD，
∴t+5-$\frac{6}{t}$=3×$\frac{6}{t}$，
解得t₁=3，t₂=-8（舍去）
∴t的值為3；

（3）①y=$\frac{k}{|x|}$的圖象如圖所示：

②設(shè)過點D的直線l為y=mx+n，
把D（-2，-3）代入，可得-3=-2m+n，
∴n=2m-3，
∴直線l的解析式為y=mx+2m-3，
當(dāng)x＜0時，y=$\frac{6}{-x}$，
令$\frac{6}{-x}$=mx+2m-3，則mx²+（2m-3）x+6=0，
∵直線l與函數(shù)y=$\frac{6}{|x|}$的圖象恰好有2個交點，
∴直線l與函數(shù)y=$\frac{6}{-x}$（x＜0）相切，
令$\frac{6}{-x}$=mx+2m-3，則mx²+（2m-3）x+6=0，
∴△=（2m-3）²-4m×6=0，
解得m₁=$\frac{9+6\sqrt{2}}{2}$，m₂=$\frac{9-6\sqrt{2}}{2}$（舍去）
∴直線l的解析式為y=$\frac{9+6\sqrt{2}}{2}$x+6+6$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，解題時注意：反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點坐標(biāo)同時滿足反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式．解決問題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的交點數(shù)量進行求解．