Question

11．如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC=3，∠ABC=30°，∠ACB的平分線交⊙O于點D．
（1）求BC、AD的長；
（2）求圖中兩陰影部分的面積和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，然后由弦AC=3，∠B=30°，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)圓周角定理求出AD=BD，求出AD即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，求出△AOC和△AOD的面積，再求出S_扇形COD，即可求出答案．

解答 解：（1）∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=3，
∴AB=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，
∴∠DCA=∠BCD
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB$=3$\sqrt{2}$；
（2）連接OC，OD，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∵OA=OB，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9}{4}\sqrt{3}$，
由（1）得∠AOD=90°，
∴∠COD=150°，
S_△AOD=$\frac{1}{2}$×AO×OD=$\frac{1}{2}$×3²=$\frac{9}{2}$，
∴S_陰影=S_扇形COD-S_△AOC-S_△AOD=$\frac{150π×{3}^{2}}{360}$-$\frac{9}{4}\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{15}{4}π-\frac{9}{4}\sqrt{3}-\frac{9}{2}$．

點評 此題考查了圓周角定理，勾股定理，扇形的面積計算公式，熟練掌握定理及扇形的面積計算公式是解本題的關鍵．