Question

1．等腰△ABC中，AC=BC，O為AB邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與AC相切于點(diǎn)C，交AB邊于D，EF為⊙O的直徑，EF⊥BC于G．
（1）如圖1，求證：$\widehat{CD}=\widehat{DE}$；
（2）如圖2，延長(zhǎng)CB交⊙O于H，連接HD、FH，求證：∠EFH=2∠DHC；
（3）在（2）條件下，連接CD，若tan∠HDC=$\frac{24}{7}$，CH=8，求FH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)AC切⊙O于點(diǎn)C得到∠COA+∠A=90°，根據(jù)EF⊥BC于點(diǎn)G得到∠GOB=∠CBA=90°，從而得到∠COA=∠GOB=∠DOE，相等的圓心角所對(duì)的弧相等得到$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；
（2）連接OC、CE，由（1）知∠COA=∠DOE，得到∠E+2∠DHC=90°，根據(jù)∠E=∠FHC得到∠FHC+2∠DHC=90°，從而證得∠EFH=2∠DHC；
（3）連接OC、OH、CF，根據(jù)EF⊥CH得到$\widehat{CF}=\widehat{FH}$，從而得到∠COH=2∠COF，在Rt△COG中，∠CGO=90°，CG=4，得到OG=$\frac{7}{6}$，然后利用勾股定理得到CO，利用勾股定理得到FH=CF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

解答 （1）證明：如圖1，連接OC，
∵AC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥AC，
∴∠COA+∠A=90°，
又∵CA=CB，
∴∠A=∠CBA，
∴∠COA+∠CBA=90°，
∵EF⊥BC于點(diǎn)G，
∴∠GOB=∠CBA=90°，
∴∠COA=∠GOB=∠DOE，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；

（2）證明：如圖2，連接OC、CE，
由（1）知∠COA=∠DOE，
∵OC=OE，
∴CE⊥OD，
∴∠E+∠DOE=90°，
∴∠E+∠DOC=90°，
∵∠DOC=2∠DHC，
∴∠E+2∠DHC=90°，
又∠E=∠FHC，
∴∠FHC+2∠DHC=90°，
∵∠FHC+∠EFH=90°，
∴∠EFH=2∠DHC；

（3）解：如圖3，連接OC、OH、CF，
∵EF⊥CH，
∴$\widehat{CF}=\widehat{FH}$，
∴∠COH=2∠COF，
又∵∠COH=2∠CDH，
∴∠COF=∠CDH，
∵CH=8，
∴CG=GH=4，
在Rt△COG中，∠CGO=90°，CG=4，
OG=$\frac{CG}{tan∠COG}$=$\frac{7}{6}$，
∴CO=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{7}{6}）^{2}}$=$\frac{25}{6}$，
∴OF=$\frac{25}{6}$，GF=3，
FH=CF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合知識(shí)及勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，能夠正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．