Question

9．如圖，在矩形ABCD中，將∠ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，BC的對應(yīng)邊B'C'交CD邊于點G．連接BB'、CC'．若AD=7，CG=4，AB'=B'G，則$\frac{CC'}{{{B}{B}'}}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 先連接AC，AG，AC'，構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，根據(jù)△ABB'∽△ACC'，可得到$\frac{CC′}{BB′}$=$\frac{AC}{AB}$，設(shè)AB=AB'=x，則AG=$\sqrt{2}$x，DG=x-4，Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理可得方程7²+（x-4）²=（$\sqrt{2}$x）²，求得AB的長以及AC的長，即可得到所求的比值．

解答 解：連接AC，AG，AC'，
由旋轉(zhuǎn)可得，AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AB′}{AC′}$，
∴△ABB'∽△ACC'，
∴$\frac{CC′}{BB′}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵AB'=B'G，∠AB'G=∠ABC=90°，
∴△AB'G是等腰直角三角形，
∴AG=$\sqrt{2}$AB'，
設(shè)AB=AB'=x，則AG=$\sqrt{2}$x，DG=x-4，
∵Rt△ADG中，AD²+DG²=AG²，
∴7²+（x-4）²=（$\sqrt{2}$x）²，
解得x₁=5，x₂=-13（舍去），
∴AB=5，
∴Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{74}$，
∴$\frac{CC′}{BB′}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{74}}{5}$．

點評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，將$\frac{CC′}{BB′}$轉(zhuǎn)化為$\frac{AC}{AB}$，并依據(jù)直角三角形的勾股定理列方程求解，從而得出矩形的寬AB，這也是本題的難點所在．