Question

17．如圖，點(diǎn)C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，以下十個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥CP=CQ；⑦△CPQ為等邊三角形；⑧共有2對全等三角形；⑨CO平分∠AOE；⑩CO平分∠BCD恒成立的結(jié)論有①②③⑤⑥⑦⑨（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的三邊都相等，三個角都是60°，可以證明△ACD與△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BE，所以①正確，對應(yīng)角相等可得∠CAD=∠CBE，然后證明△ACP與△BCQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得PC=PQ，從而得到△CPQ是等邊三角形，所以⑥⑦正確；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以找出相等的角，從而證明PQ∥AE，所以②正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可以推出AP=BQ，所以③正確；由△DCE是等邊三角形，∠AOB=60°，故⑤小題正確；由△ACP≌△BCQ得出AP=BQ，故③小題正確；根據(jù)DP=QE，得出∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，即∠DQE≠∠CDE，故④錯誤；先判斷出D，O，C，E四點(diǎn)共圓，從而得出∠DCE=∠AOC=60°，即OC平分∠AOE，故⑨正確；由△ACD≌△BCE，△ACP≌△BCQ，△CDP≌△CEQ．故⑧錯誤，由PC=QC，∠AOC=∠EOC，OC=OC，不能說明△POC與△QOC全等，即∠BCO≠∠DCO，故⑩CO平分∠BCD錯誤．

解答 解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①小題正確；
∵△ACD≌△BCE（已證），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已證），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP與△BCQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACB=∠BCQ}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故③小題正確；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠DAC+∠ADC=∠DCE，
∵△DCE是等邊三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠AOB=60°，故⑤小題正確；
∵△ACP≌△BCQ
∴PC=QC，
∴△PCQ是等邊三角形，故⑦正確．
∴CP=CQ，故⑥正確，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小題正確；
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④錯誤；
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，
同理可得出∠AOE=120°，
∵D，O，C，E四點(diǎn)共圓，
∴∠OCD=∠OED，
∴∠OAC=∠OCD，
∴∠DCE=∠AOC=60°，
∴OC平分∠AOE，故⑨正確
∵等邊△ABC、等邊△DCE，
∴∠ACB=∠CED，即BC∥DE，
同理可證AB∥CD，
即可得△BAE∽△QCE，△APC∽△ADE，
∴$\frac{PC}{DE}=\frac{CQ}{AB}$，
∵BA=CA，DE=CE，
∴CQ=CP，
又∵∠PCQ=180°-∠ACB-∠ECD=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，
∵PC=CQ，CD=CE，∠PCD=∠QCE，
∴△CDP≌△CEQ．
∴有三對全等三角形，故⑧錯誤；
∵PC=QC，∠AOC=∠EOC，OC=OC，
∴不能說明△POC與△QOC全等，
∴∠BCO≠∠DCO，故⑩CO平分∠BCD錯誤．
∴正確的是①②③⑤⑥⑦⑨；
故答案為：①②③⑤⑥⑦⑨．

點(diǎn)評 此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形全的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練應(yīng)用三角形全等的證明是正確解答本題的關(guān)鍵．