Question

19．四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在DC上，且CF=$\frac{1}{3}$DC，連AC交EF于點(diǎn)G．
（1）求證：△AGE∽△CGF；
（2）若AC=10，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）只要證明AD=CE，AD∥CE，推出四邊形ADCE是平行四邊形即可解決問題；
（2）由AE∥CF，推出$\frac{CF}{AE}$=$\frac{CG}{AG}$，根據(jù)AE=CD，CF=$\frac{1}{3}$CD即可推出CG：AG=1：3，由此即可解決問題；

解答 （1）證明：∵BC=2AD，BE=CE，
∴AD=EC，∵AD∥EC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AE∥CD，
∴△AGE∽△CGF．

（2）解：∵AE∥CF，
∴$\frac{CF}{AE}$=$\frac{CG}{AG}$，
∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AE=CD，
∵CF=$\frac{1}{3}$CD，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{1}{3}$，
∵AC=10，
∴CG=$\frac{1}{4}$×10=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．