Question

5．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個(gè)問題：
如圖1，△ABC≌△DEF（點(diǎn)A、B分別與點(diǎn)D、E對應(yīng)），AB=AC，現(xiàn)將△ABC與△DEF按如圖所示的方式疊放在一起，現(xiàn)將△ABC保持不動，△DEF運(yùn)動，且滿足點(diǎn)E在邊BC邊從B向C移動（不與B、C重合），DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．求證：△ABE∽△ECM．
（1）請解答老師提出的問題．
（2）受此問題的啟發(fā)，小明將△DEF繞點(diǎn)E按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使DE、EF分別交AB、AC邊于點(diǎn)N、M，連接MN，如圖2，當(dāng)EB=EC時(shí)，小明猜想△NEM與△ECM相似，小明的猜想正確嗎？請你作出判斷并說明理由；
（3）在（2）的條件下，以E為圓心，作⊙E，使得AB與⊙E相切，請?jiān)趫D3中畫出⊙E，并判斷直線MN與⊙E的位置關(guān)系，說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明△ABE∽△ECM，只要證明∠B=∠ECM，∠BAE=∠CEM．
（2）結(jié)論正確．先證明△BNE∽△CEM，得$\frac{NE}{EM}$=$\frac{BE}{CM}$，因?yàn)锽E=EC，所以$\frac{NE}{EM}$=$\frac{EC}{CM}$，即$\frac{NE}{EC}$=$\frac{EN}{CM}$，因?yàn)椤螻EM=∠C，即可證明△NEM∽△ECM．
（3）結(jié)論：直線MN與⊙E相切．如圖3中，設(shè)⊙E與AB相切于點(diǎn)G，作EH⊥NM于H．首先證明∠ENB=∠ENM，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證明．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ECM，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM．

（2）結(jié)論正確．
理由：如圖2中，

∵∠NEC=∠B+∠ENB=∠NEF+∠CEM，∠NEF=∠B，
∴∠ENB=∠CEM，∵∠B=∠ECM，
∴△BNE∽△CEM，
∴$\frac{NE}{EM}$=$\frac{BE}{CM}$，∵BE=EC，
∴$\frac{NE}{EM}$=$\frac{EC}{CM}$，
∴$\frac{NE}{EC}$=$\frac{EN}{CM}$，∵∠NEM=∠C，
∴△NEM∽△ECM．

（3）結(jié)論：直線MN與⊙E相切．
理由：如圖3中，設(shè)⊙E與AB相切于點(diǎn)G，作EH⊥NM于H．

由（2）可知△BNE∽△CEM，△NEM∽△ECM．
∴∠BNE=∠CEN=∠ENM，
∵AB是⊙E的切線，
∴EG⊥NB，∵EH⊥NM，
∴EG=EH，
∴NM是⊙E的切線．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓、角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會利用角平分線的性質(zhì)定理添加輔助線，屬于中考壓軸題．