Question

15．如圖，已知在?ABCD內有線段EF∥BC，AE、DF的延長線交于點H，又分別交BC于點M、N，BE、CF的延長線交于點G，HG分別交EF、BC于點P、Q，求證：BQ：MQ=CQ：NQ．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，AD=BC，于是得到AD∥BC∥EF，推出△AHD∽△EHF，△BGC∽△EGF，根據相似三角形的性質得到$\frac{AH}{EH}$=$\frac{AD}{EF}$，$\frac{BG}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$，根據比例的性質得到$\frac{AE}{EH}=\frac{BE}{EG}$，證得△AEB∽△HEG，得到對應角相等∠ABE=∠EGH，于是證得AB∥GH，得到GH∥CD，然后根據平行線分線段成比例和比例的性質即可得到結論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥BC，
∴AD∥BC∥EF，
∴△AHD∽△EHF，△BGC∽△EGF，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{AD}{EF}$，$\frac{BG}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{BG}{EG}$，
∴$\frac{AH}{BG}=\frac{EH}{EG}$，
∵AH=EH+AE，BG=EG+BE，
∴$\frac{AH}{BG}=\frac{EH}{EG}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AE}{EH}=\frac{BE}{EG}$，
∵∠AEB=∠HEP，
∴△AEB∽△HEG，
∴∠ABE=∠EGH，
∴AB∥GH，
∵AB∥CD，
∴GH∥CD，
∴$\frac{AB}{QH}=\frac{BM}{MQ}$，$\frac{CD}{QH}=\frac{CN}{NQ}$，
∴$\frac{BM}{MQ}=\frac{CN}{NQ}$，
∴$\frac{BM+MQ}{MQ}=\frac{CN+NQ}{NQ}$，
即BQ：MQ=CQ：NQ．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理比例的性質，平行四邊形的性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵．