Question

3．△ABC為等邊三角形，∠DAE=60°，∠DAE的邊AD交BC的延長線于D、邊AE交AB的平行線CE于E，如圖1．
（1）連結(jié)DE，得△ADE，試判斷△ADE的形狀并說明理由．
（2）再將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至與（1）中所得△ADE成如圖2所示位置關(guān)系，若∠CEB=α，求∠DBE（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠B=∠BAC=60°，由于∠DAE=60°，則∠BAD=∠CAE，再利用平行線的性質(zhì)得∠ACE=∠BAC=60°=∠B，則可根據(jù)“ASA”判斷△ABD≌△ACE，所以AD=AE，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法可判斷△ADE為等邊三角形；
（2）與（1）一樣可證明△ABD≌△ACE得到∠1=∠2，由（1）得△ADE為等邊三角形，則∠3=60°-∠AEB，∠4=60°-∠2，利用三角形內(nèi)角和定理和角度的代換可計(jì)算出∠DBE=60°+α．

解答 解：（1）△ADE為等邊三角形．理由如下：
如圖1，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠B=∠BAC=60°，
∵∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACE}\\{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
而∠DAE=60°，
∴△ADE為等邊三角形；
（2）與（1）一樣可證明△ABD≌△ACE，
∴∠1=∠2，
由（1）得△ADE為等邊三角形，
∴∠3+∠AEB=60°，∠2+∠4=60°，
∴∠3=60°-∠AEB，∠4=60°-∠2，
∴∠DBE=180°-∠3-∠4
=180°-（60°-∠AEB）-（60°-∠2）
=60°+∠AEB+∠2
=60°+∠AEB+∠1
=60°+∠CBE
=60°+α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．