Question

8．如圖，在等邊△ABC中，點D為AB邊中點，點E在CB的延長線上，點F在AC的延長線上，DF交BC于點G且∠EDF=120°．若CE=8，CF=2，則CG=1．

Answer 1

分析 作DH∥BC交AC于H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，由于點D為AB邊中點，則BD=DH=CH，利用DH∥BC得到∠BDH=∠CHD=120°，而∠EDF=120°，則∠EDB=∠HDF，于是可根據(jù)“ASA”證明△BDE≌△HDF得到BE=FH，則BE+BC=2+$\frac{1}{2}$BC+BC=8，得到BC=8，所以DH=CH=2，然后證明△FCG∽△FHD，利用相似比可計算出CG．

解答 解：作DH∥BC交AC于H，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵點D為AB邊中點，
∴BD=DH=CH，
∵DH∥BC，
∴∠BDH=∠CHD=120°，
而∠EDF=120°，
∴∠EDB=∠HDF，
在△BDE和△HDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠FDH}\\{BD=DH}\\{∠DBE=∠DHF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△HDF，
∴BE=FH，
∵BE+BC=CE=8，
∴CF+$\frac{1}{2}$BC+BC=8，即2+$\frac{3}{2}$BC=8，
∴BC=4，
∴DH=CH=2，
∵CG∥DH，
∴△FCG∽△FHD，
∴$\frac{CG}{DH}$=$\frac{CF}{FH}$，即$\frac{CG}{2}$=$\frac{2}{2+2}$，
∴CG=1．
故答案為1．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．