Question

2．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接BC，BD，CD，若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)S_△PBC=S_△BCD時(shí)，求m的值（點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合）；
（3）連接AC，將△AOC沿x軸正方向平移，設(shè)移動(dòng)距離為a，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△AOC與△OBC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與a之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)自變量a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程即可求得A、B的坐標(biāo)，令x=0，即可求得C的坐標(biāo)，把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，則x_D=1=x_E，求得y_E=-2，DE=2，進(jìn)而得出S_△BCD=S_△BED+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×2=3，然后分兩種情況分別討論求得即可；
（3）分三種情況：①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，根據(jù)S=S_△AOC-S_△A′OE-S_△FGC′即可求得；②當(dāng)1＜a≤3時(shí)，如圖4，根據(jù)S=S_△AOC-S_△FGC′=即可求得；③當(dāng)3＜a≤4時(shí)，如圖5，S=$\frac{1}{2}$（4-a）×$\frac{3}{4}$（4-a）．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴C（0，-3），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）；

（2）設(shè)BC：y=kx+b
 將B（3，0），C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC為y=x-3，
過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，
∵x_D=1=x_E，
∴y_E=-2，
∴DE=2，
∴S_△BCD=S_△BED+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×2=3，
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)P（m，m²-2m-3），Q（m，m-3）
①當(dāng)P是BC下方拋物線上一點(diǎn)時(shí)，如圖1，
∴${S_{△PCB}}={S_{△PBQ}}+{S_{△PQC}}=-\frac{3}{2}{m^2}+\frac{9}{2}m=3$．
∴m₁=-1（舍），m₂=2，
②當(dāng)P是BC上方拋物線上一點(diǎn)時(shí)，如圖2，
S_△PBC=S_△PQC-S_△PQB=$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m=3，
解得m₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
綜上：m的值為$\frac{{3+\sqrt{17}}}{2}，\frac{{3-\sqrt{17}}}{2}，2$；

（3）①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，如圖3，
∵OA′=1-a，O′C′=OC=3，
∵$\frac{AE}{O′C′}$=$\frac{OA′}{O′A′}$
即$\frac{AE}{3}$=$\frac{1-a}{1}$，
∴AE=3-3a，
∴CE=3a，
∵$\frac{O′G}{OC}$=$\frac{O′B}{OB}$，
即$\frac{O′G}{3}$=$\frac{3-a}{3}$，
∴O′G=3-a，
∴GC′=a，
∵$\frac{EC}{C′G}$=$\frac{3a}{a}$=$\frac{3}{1}$，
∴△FC′G邊CG′上的高為$\frac{1}{4}$a，
∴S=S_△AOC-S_△A′OE-S_△FGC′=$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$（1-a）×（3-3a）-$\frac{1}{2}$a×$\frac{1}{4}$a=-$\frac{13}{8}$a²+3a；
②當(dāng)1＜a≤3時(shí)，如圖4，
∵GC=a，△FC′G邊CG′上的高為$\frac{1}{4}$a，
∴S=S_△AOC-S_△FGC′=$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$a×$\frac{1}{4}$a=-$\frac{1}{8}$a²+$\frac{3}{2}$；
③當(dāng)3＜a≤4時(shí)，如圖5，
∵A′B=4-a，CC′=a，
設(shè)△A′FB邊A′B上的高為h，則△CFC′邊CC′的高為3-h，
∵△A′FB∽△C′FC，
∴$\frac{h}{3-h}$=$\frac{4-a}{a}$，解得h=$\frac{3}{4}$（4-a），
∴S=$\frac{1}{2}$（4-a）×$\frac{3}{4}$（4-a）=$\frac{3}{8}$a²-3a+6；
綜上，$S=\left\{\begin{array}{l}-\frac{13}{8}{a^2}+3a（0＜a≤1）\\-\frac{1}{8}{a^2}+\frac{3}{2}（1＜a≤3）\\ \frac{3}{8}{a^2}-3a+6（3＜a≤4）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積等，分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．