Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=ax+b與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b）．
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-3）；
（2）若點(diǎn)D是線段OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），且CE∥BD．點(diǎn)C在直線y=-4x上．
①求直線y=ax+b的解析式；
②點(diǎn)P為直線y=-4x上一點(diǎn)，當(dāng)S_△PAB=$\frac{3}{2}$S_△COE時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）代入A、B點(diǎn)，即可解題；
（2）①分別用a、b表示點(diǎn)B、C、D坐標(biāo)，即可解題；
②易證P在線段OC上，再根據(jù)S_△PAB=S_梯形AMNB-S_△PMA-S_△PNB即可解題．

解答 解：（1）將A、B兩點(diǎn)代入y=ax+b可得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3a+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，-3）；
（2）①∵y=ax+b與x軸交點(diǎn)A為（-$\frac{a}$，0），與y軸交點(diǎn)B為（0，b），
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-$\frac{2a}$，0），
∵CE∥BD，
∴k_CE=k_BD，
∴$\frac{b-0}{a-1}$=$\frac{0-b}{-\frac{2a}-0}$，
∵點(diǎn)C在直線y=-4x上，
∴b=-4a，
解得：a=-1，b=4，
∴直線AB解析式為y=-x+4，
∴A（4，0）、B（0，4）、C（-1，4），
②如圖，

S_△COE=$\frac{1}{2}$×1×4=2，則S_△PAB=3，
當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，S_△CAB=2，當(dāng)P在O點(diǎn)時(shí)，S_△OAB=8，
∴P在線段OC上，
設(shè)點(diǎn)P（t，-4t）（t＜0），過(guò)P作y軸平行線分別交x軸、線段BC于點(diǎn)M、N，
則OM=BN=-t，PM=-4t，MN=ON=4，
∴AM=OA+OM=4-t，PN=MN-PM=4+4t，
∴S_△PAB=S_梯形AMNB-S_△PMA-S_△PNB=$\frac{1}{2}$（AM+BN）•MN-$\frac{1}{2}$PM•AM-$\frac{1}{2}$PN•BN，
代入整理得：4t²-8t-3=0，
解得：t=$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$或$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$（舍去），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$，2$\sqrt{7}$-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了代入法求直線解析式的方法，考查了三角形的計(jì)算，本題中求得直線AB的解析式是解題的關(guān)鍵．