Question

8．如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，聯(lián)結(jié)BP、BH，當(dāng)AP=1時(shí)，則PH=3.4，EF=$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP+HC=PH，設(shè)QH=HC=x，則DH=4-x．根據(jù)勾股定理列方程求解即可．

解答 解：∵PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH，
過B作BQ⊥PH，垂足為Q，
在△ABP與△QBP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQP=90°}\\{∠APB=∠BPH}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，
∴△BCH和△BQH是直角三角形，
在Rt△BCH與Rt△BQH中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BQ}\\{BH=BH}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH=QH，
∴AP+HC=PH，
∵AP=PQ=1，
∴PD=3，
設(shè)QH=HC=x，則DH=4-x，
在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH²，
即3²+（4-x）²=（x+1）²，
解得x=2.4，
∴PH=3.4，
設(shè)CF=y，HF=2.4-y，
∴（2.4-y）²=y²+0.6²，
∴y=$\frac{9}{8}$，
∵BE=PE，PE²=AE²+AP²，∴BE²=（4-BE）²+1，
∴BE=$\frac{17}{8}$，
∴EF²=4²+（$\frac{17}{8}$-$\frac{9}{8}$）²=17，
∴EF=$\sqrt{17}$．
故答案為：3.4，$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，熟練利用全等三角形的判定得出對(duì)應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．