Question

18．如圖，△ABC中，分別以AB、AC為邊向三角形外作△ABD和△ACE，使AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，AH⊥BC，H為垂足，點F在HA的延長線上，且AF=BC，求證：四邊形AEFD是平行四邊形．

Answer 1

分析 首先證明△DAF≌△ABC，推出∠ADF=∠BAC，DF=AC=AE，由∠BAD=∠EAC=90°，推出∠BAC+∠DAE=180°，∠ADF+∠DAE=180°，推出DF∥AE，由此即可證明．

解答 證明：∵∠BAD=90°，AH⊥BC，
∴∠DAF+∠BAH=90°，∠BAH+∠ABC=90°，
∴∠DAF=∠ABC，
在△DAF和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BC}\\{∠DAF=∠ABC}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△ABC，
∴∠ADF=∠BAC，DF=AC=AE，
∵∠BAD=∠EAC=90°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠ADF+∠DAE=180°，
∴DF∥AE，
∵DF=AE，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．