Question

13．已知△ABC中，AB=AC，D為直線BC上一點．
（1）如圖1，BH⊥AD于H，若AD=BD，求$\frac{AH}{BC}$的值；
（2）如圖2，∠BAC=90°，E為AB的中點，∠BCE=∠DAB，BD=2，求CE的長；
（3）如圖3．∠BAC=60°，F(xiàn)為AC上一點，AF=2CF，∠FDC=∠ABF，延長DF至G，使GF=BF，求證AG∥BC．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠ABD=∠BAD，進而得出△ABE≌△BAH，即可得出BE=AH，代換即可得出結(jié)論；
（2）設出AE=x，先利用勾股定理求出BC，進而得出AF，BF，而BD=2，得出DF，再判斷出△DAF∽△CEA，得出比例式求出DF即可建立方程，求出x，利用勾股定理即可求出CE；
（3）先判斷出三角形ABC是等邊三角形，得出∠C=60°，再用三角形的內(nèi)角和得出∠AFB=∠AFG，進而判斷出△AFB≌△AFG，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，
過點A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD，
在△ABE和△BAH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BHA=90°}\\{∠ABE=∠BAH}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BAH，
∴BE=AH，
∴$\frac{1}{2}$BC=AH，
∴$\frac{AH}{BC}=\frac{1}{2}$；

（2）如圖2，
過點A作AF⊥BC于F，設AE=x，
∵點E是AB的中點，
∴AC=AB=2x，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，BC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$x，
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$x，
∴DF=BD+BF=2+$\sqrt{2}$x，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°=∠BAF，
∴∠AEC=∠ABC+∠BCE=45°+∠BCE，
∵∠BCE=∠BAD，
∴∠AEC=45°+∠BAD，
∵∠DAF=∠BAF+∠BAD=45°+∠BAD，
∴∠AEC=∠DAF，∵∠AFD=∠EAC=90°，
∴△DAF∽△CEA，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{DF}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{2}x}{x}=\frac{DF}{2x}$，
∴DF=2$\sqrt{2}$x，
∵DF=2+$\sqrt{2}$x，
∴2$\sqrt{2}$x=2+$\sqrt{2}$x，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴AC=2x=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理，得CE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（3）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°，
在△CDF中，∠CFD=180°-∠CDF-∠C=120°-∠CDF，
∵∠FDC=∠ABF，
∴∠AFG=∠CFD=120°-∠ABF，
在△ABF中，∠AFB=180°-∠BAC-∠ABF=180°-60°-∠ABF=120°-∠ABF，
∴∠AFB=∠AFG，
在△AFB和△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠AFB=∠AFG}\\{BF=GF}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△AFG，
∴∠CAG=∠BAC=60°=∠C，
∴AG∥BC．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的內(nèi)角和，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解（1）的關(guān)鍵是作出輔助線，解（2）的關(guān)鍵是求出AE和AC，解（3）的關(guān)鍵是判斷出∠AFB=∠AFG，解本題的難點是作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形，是一道很好的中考�？碱}．