Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，0），以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形OABC是平行四邊形，將邊OA沿x軸翻折得到線段OA′，連接A′B交線段OC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在y軸上，且A（0，-2）時(shí)．
①求A′B所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
②求證：點(diǎn)D為線段A′B的中點(diǎn)．
（2）如圖2，當(dāng)∠AOC=45°時(shí)，OA′，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，試探究$\frac{OD}{BM}$的值，并寫出探究思路．

Answer 1

分析 （1）①先由折疊的性質(zhì)得出點(diǎn)A'的坐標(biāo)，再確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
②先判斷出∠OA'B=∠DBC，進(jìn)而判斷出△A'DO≌△BDC即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出點(diǎn)D為線段A'B的中點(diǎn)進(jìn)而可得$\frac{DE}{BM}=\frac{A'D}{A'B}$=$\frac{1}{2}$，再判斷出等腰直角△ODE．進(jìn)而得出$\frac{OD}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①四邊形OABC是平行四邊形
∴AO∥BC，AO=BC．
又∵點(diǎn)A落在y軸上，
∴AO⊥x軸，
∴BC⊥x軸．
∵A（0，-2），C（6，0），
∴B（6，-2）．
又∵邊OA沿x軸翻折得到線段OA'，
∴A'（0，2）．
設(shè)直線A'B的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{6k+b=-2}\end{array}\right.$
解得∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴A'B所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-$\frac{2}{3}$x+2． 

證明：②∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AO∥BC，AO=BC．
∴∠OA'B=∠DBC．
又∵邊OA沿x軸翻折得到線段OA'，
∴AO=OA'．
∴OA'=BC．
又∵∠A'DO=∠BDC，
∴△A'DO≌△BDC．
∴A'D=BD，
∴點(diǎn)D為線段A'B的中點(diǎn)． 

解：（2）$\frac{OD}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
思路：如圖，連接AA'交x軸于F點(diǎn)
證明F為AA'的中點(diǎn)；
∴得出點(diǎn)D為線段A'B的中點(diǎn)
∵邊OA沿x軸翻折得到線段OA'且∠AOC=45°，
∴∠A'OD=45°，∠A'OA=90°．
∵AO∥BC，
∴∠M=90°．
過(guò)點(diǎn)D作DE∥BM交OM于點(diǎn)E，
可得$\frac{DE}{BM}=\frac{A'D}{A'B}$=$\frac{1}{2}$，
還可得到等腰直角△ODE．
∴$\frac{OD}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{1}$．
∴$\frac{OD}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線．