Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，CD平分∠ACB，E在AC上，且AE=AD，EF⊥CD交BC于點F，交CD于點O．求證：BF=2AD．

Answer 1

分析 連接DF，證明四邊形CEDF是平行四邊形，再證出四邊形CEDF為菱形，得出DF∥CE，DF=CE=CF=DE，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BF=$\sqrt{2}$DF，DE=$\sqrt{2}$AD，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接DF，如圖所示：
∵AD=AE，AB=AC，
∴AD：AB=AE：AC，
∴DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠DCE，
∴DE=CE，
∵EF⊥CD，
∴OD=OC，
∵DE∥CF，
∴OE=OF，
∴四邊形CEDF是平行四邊形，
∴四邊形CEDF為菱形，
∴DF∥CE，DF=CE=CF=DE，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴DF⊥AB，∠B=45°，
∴BF=$\sqrt{2}$DF，
∵AD=AE，∠A=90°，
∴DE=$\sqrt{2}$AD，
∴BF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$AD=2AD．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．