Question

13．點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$上一點(diǎn)，向x，y軸上作垂線，交反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上于點(diǎn)A，B，交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)C，則
（1）S_△OAC=S_△OBD；
（2）A為PC中點(diǎn)時(shí)，S_△OCA=S_△AOP=S_△POB=S_△BOD；
（3）A為PC中點(diǎn)時(shí)，B為PD中點(diǎn)；
（4）$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{n}$時(shí)，$\frac{BD}{PD}$=$\frac{1}{n}$；
（5）S_{四邊形AOBP}=|k₁-k₂|為定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)直接得出結(jié)論；
（2）利用三角形的面積公式以及等底同高的兩三角形面積相等即可；
（3）同（2）的方法即可；
（4）利用同高的兩三角形面積的比是底的比即可；
（5）利用圖形的面積差即可，

解答 解：（1）如圖，

連接OP，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$|k₂|
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$|k₂|，
∴S_△AOC=S_△BOD，
（2）∵A為PC中點(diǎn)，
∴AC=PA，
∵PC⊥y軸，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC×OC，S_△AOP=$\frac{1}{2}$AP×OC，
∴S_△AOC=S_△AOP，
由（1）知，S_△AOC=S_△BOD，
∴S_△AOC=S_△AOP=S_△BOD，
∵S_△POC=S_△POD，
∴S_△AOP=S_△POB，
∴S_△OCA=S_△AOP=S_△POB=S_△BOD，
（3）由（2）知S_△POB=S_△BOD
∵S_△POB=$\frac{1}{2}$PB×OD，S_△DOB=$\frac{1}{2}$DB×OD，
∴PD=DB，
∴點(diǎn)B是PD中點(diǎn)；
（4）由（2）知，S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC×OC，S_△AOP=$\frac{1}{2}$AP×OC，
∵$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△AOP}}=\frac{1}{n}$，
∵S_△BOD=S_△AOC，S_△POD=S_△POC，
∴S_△BOP=S_△AOP
∴$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{△BOP}}=\frac{1}{n}$，
∵S_△POB=$\frac{1}{2}$PB×OD，S_△DOB=$\frac{1}{2}$DB×OD，
∴$\frac{BD}{PD}$=$\frac{1}{n}$；
（5）點(diǎn)P在為反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$上，且PC⊥y軸，PD⊥x軸，
∴S_{四邊形OCPD}=k₁，
∵反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上于點(diǎn)A，B，
∴S_△AOC+S_△BOD=k₂，
∴S_{四邊形AOBP}=S_{四邊形OCPD}-（|S_△AOC+S_△BOD）=|k₁-k₂|．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式，同底等高的三角形的面積關(guān)系，同高的兩三角形的面積比等于底的比，解本題的關(guān)鍵是利用反比例函數(shù)的性質(zhì)．