Question

15．已知如圖所示，⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T作直線分別交⊙O₁，⊙O₂于A、B兩點(diǎn)，⊙O₁，⊙O₂的半徑分別是2和3，求AT：BT的值．

Answer 1

分析 連接AO₁．O₁O₂，BO₂，作出兩圓的公切線EF，必然過(guò)點(diǎn)T，利用弦切角等于夾弧所對(duì)的圓心角的一半及對(duì)頂角相等，等量代換得到一對(duì)角相等，再由對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△ATO₁∽△BTO₂，由相似得比例即可得到結(jié)果．

解答 解：連接AO₁．O₁O₂，BO₂，則O₁O₂必然過(guò)T，作出兩圓的公切線EF，必然過(guò)點(diǎn)T，
∵∠ATE=$\frac{1}{2}$∠AO₁T，∠BTF=$\frac{1}{2}$∠BO₂T，∠ATE=∠BTF，
∴∠AO₁T=∠BO₂T，
∵∠ATO₁=∠BTO₂，
∴△ATO₁∽△BTO₂，
則AT：BT=O₁A：O₂B=2：3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相切兩圓的性質(zhì)，弦切角性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出相應(yīng)的輔助線是解本題的關(guān)鍵．