Question

4．如圖，已知等腰三角形ABC，AB=AC，O為AB延長線上的點，以⊙O為圓心，OB為半徑作O，交CB的延長線于D，⊙O與直線AC切于點T，作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑r=3，CE=9，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質即可求得∠C=∠ODB，進而求得∠C+∠EDC=∠ODB+∠EDC=90°，即∠ODE=90°，即可證得DE是⊙O的切線；
（2）連接OT，證得四邊形ODET是正方形，得出DE=ET=r=3，設AB=AC=x，則AT=9-3-x=6-x，OA=r+x=3+x，然后根據(jù)勾股定理得出（3+x）=3²+（6-x）²，解方程即可求得AB的長．

解答 （1）證明：連接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠C=∠ABC，∠OBD=∠ODB，
∵∠ABC=∠OBD，
∴∠C=∠ODB，
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠EDC=90°，
∴∠ODB+∠EDC=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：連接OT，
∵⊙O與直線AC切于點T，
∴OT⊥AE，
∵∠ODC=∠E=90°，
∴四邊形ODET是矩形，
∵OD=OT，
∴四邊形ODET是正方形，
∴DE=ET=r=3，
設AB=AC=x，則AT=EC-ET-AC=9-3-x=6-x，OA=r+x=3+x，
在RT△OAT中，OA²=OT²+TA²，
即（3+x）=3²+（6-x）²，
解得x=2，
∴AB=2．

點評 本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質以及正方形的判定和性質，勾股定理的應用等，作出輔助線，證得四邊形ODET是正方形是解題的關鍵．