Question

14．求證：矩形的四個(gè)角的平分線所圍成的四邊形是正方形．

Answer 1

分析 首先根據(jù)已知條件證明四邊形EMFN是矩形，再根據(jù)正方形的判定：鄰邊相等的矩形是正方形即證明FM=EM即可．

解答 如圖，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分別是矩形的四個(gè)角的角平分線，E、M、F、N是其交點(diǎn)，
求證：四邊形EMFN是正方形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴四個(gè)內(nèi)角均為90°，
∵AF，BE，CE，DF分別是四個(gè)內(nèi)角的平分線，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴△EBC為等腰直角三角形，
∴∠E=90°，
同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，
∴四邊形MFNE為矩形，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠E}\\{∠1=∠4}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△CBE（AAS）
∴AF=BE，
∵AM=BM，
∴AF-AM=BE-BM，即FM=EM，
∴四邊形MFNE是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是對(duì)特殊的幾何圖形的判定和性質(zhì)要熟練掌握．