Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，2），M（-4，0），點(diǎn)B從點(diǎn)M出發(fā)，速度為每秒k個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)B與點(diǎn)P都沿x軸正方向向右運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．動點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上．
（1）當(dāng)k=1，t=1時(shí)，直接寫出點(diǎn)B，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，B，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)，并求出此時(shí)t的值；如果不存在，說明理由；
（3）探索在運(yùn)動過程中，以A，B，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)t和k應(yīng)滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）利用速度公式計(jì)算出BM和OP，則可得到點(diǎn)B，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，BM=2t，OP=t，B（2t-4，0），P（t，0），則PB=t-（2t-4）=3t-4，分類討論：
當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限，如圖1，利用平行四邊形的性質(zhì)得AQ∥PB，AQ=PB，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則可確定Q（2，2），所以PB=AQ=2，即t-（2t-4）=2，再解方程求出t的值；
當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限，如圖2，連結(jié)AQ交x軸與D，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DA=DQ，OB=OP，易得Q（-2，-2），D（-1，0），利用DP=DQ得到t+1=-1-（2t-4），再解方程求出t的值；
（3）B（kt-4，0），PB=4-（k-1）t，與（2）類似，分類討論：當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限，利用PB=PQ=2得到4-（k-1）t=2，所以t=$\frac{2}{k-1}$；當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限，如圖2，連結(jié)AQ交x軸與D，利用DP=DQ得到t+1=-1-（kt-4），解得t=$\frac{2}{k+1}$．

解答 解：（1）當(dāng)k=1，t=1，則BM=1，OP=1，
所以B（-3，0），P（1，0）；
（2）存在．
當(dāng)k=2時(shí)，BM=2t，OP=t，B（2t-4，0），P（t，0），
則PB=t-（2t-4）=3t-4，
當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限，如圖1，
∵四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴AQ∥PB，AQ=PB，
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
當(dāng)y=2時(shí)，$\frac{4}{x}$=2，解得x=2，則Q（2，2），
∴PB=AQ=2，
即t-（2t-4）=2，解得t=2；
當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限，如圖2，連結(jié)AQ交x軸與D，
∵四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴DA=DQ，OB=OP，
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
當(dāng)y=-2時(shí)，$\frac{4}{x}$=-2，解得x=-2，則Q（-2，-2），
∴D（-1，0），
∴t+1=-1-（2t-4），解得t=$\frac{2}{3}$，
即滿足條件的t的值為2或$\frac{2}{3}$；
（3）BM=kt，OP=t，B（kt-4，0），P（t，0），
則PB=t-（kt-4）=4-（k-1）t，
當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限，由（2）得到Q（2，2），由于PB=PQ=2，則4-（k-1）t=2，所以t=$\frac{2}{k-1}$；
當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限，如圖2，連結(jié)AQ交x軸與D，由（2）得到Q（-2，-2），D（-1，0），由DP=DQ得到t+1=-1-（kt-4），解得t=$\frac{2}{k+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和平行四邊形的判定方法；會運(yùn)用分類討論的思想解決問題；通過用代數(shù)式表示相應(yīng)相等來解決動點(diǎn)問題．