Question

7．如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上，與點(diǎn)B、C不重合，過點(diǎn)A作DE的垂線，交直線CD于點(diǎn)F．設(shè)DF=x，EC=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．
（2）當(dāng)CF=1時(shí)，求EC的長．
（3）若直線AF與線段BC延長線交于點(diǎn)G，當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí)，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）易證△ADF∽△DCE，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系，然后根據(jù)y的范圍就可得到x的范圍；
（2）由于點(diǎn)F的位置不確定，需分點(diǎn)F在線段DC及點(diǎn)F在線段DC的延長線上兩種情況進(jìn)行討論，然后利用y與x的關(guān)系即可解決問題；
（3）由∠DEC=∠AFD=90-∠EDC可得∠BED=∠DFG，因而在△DBE和△DFG中，點(diǎn)E與點(diǎn)F是對應(yīng)點(diǎn)，故當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí)，可分△DEB∽△GFD和△DEB∽△DFG兩種情況進(jìn)行討論，然后只需用x的代數(shù)式表示ED、FG、EB，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°-∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{DF}{CE}$，
∴$\frac{4}{2}$=$\frac{x}{y}$，即y=$\frac{1}{2}$x．
∵點(diǎn)E在線段BC上，與點(diǎn)B、C不重合，
∴0＜y＜4，∴0＜$\frac{1}{2}$x＜4，即0＜x＜8，
∴y=$\frac{1}{2}$x，（0＜x＜8）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)F線段DC上時(shí)，
∵CF=1，
∴DF=x=2-1=1，此時(shí)CE=y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)點(diǎn)F線段DC延長線上時(shí)，
∵CF=1，
∴DF=x=2+1=3，此時(shí)CE=y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$；
∴當(dāng)CF=1時(shí)，EC的長為$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$；

（3）在Rt△ADF中，AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
在Rt△DCE中，DE=$\sqrt{E{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}x）^{2}+4}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△GCF，
∴$\frac{AF}{GF}$=$\frac{DF}{CF}$，
∴FG=$\frac{CF•AF}{DF}$=$\frac{2-x}{x}\sqrt{{x^2}+16}$．
∵∠DEC=∠AFD=90-∠EDC，
∴∠BED=∠DFG，
∴當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí)，可分以下兩種情況討論：
①△DEB∽△GFD，如圖2，
則有$\frac{ED}{EB}$=$\frac{FG}{FD}$，
∴ED•FD=FG•EB，
∴$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+16}$•x=$\frac{2-x}{x}\sqrt{{x^2}+16}$•（4-$\frac{1}{2}$x），
解得：x=$\frac{8}{5}$．
②若△DEB∽△DFG，如圖3，
則有$\frac{ED}{EB}$=$\frac{FD}{FG}$，
∴ED•FG=EB•FD，
∴$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+16}$•$\frac{2-x}{x}\sqrt{{x^2}+16}$=（4-$\frac{1}{2}$x）•x，
整理得：3x²+8x-16=0，
解得：x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=-4（舍去）．
綜上所述：DF的長為$\frac{8}{5}$或$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解方程等知識，對運(yùn)算能力的要求比較高，當(dāng)點(diǎn)的位置不確定、相似三角形的對應(yīng)關(guān)系不確定時(shí)，常常需要分類討論，避免出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象．