Question

12．將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖①擺放在一起，設(shè)較短的直角邊長為3．
（1）四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由．
（2）如圖②，將Rt△BCD沿射線BD方向平移到Rt△B₁C₁D₁的位置，四邊形ABC₁D₁是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由．
（3）在Rt△BCD沿射線BD方向平移的過程中，當(dāng)點(diǎn)B的移動距離為多少時四邊形ABC₁D₁為矩形？

Answer 1

分析 （1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（2）有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（3）同（2）可證四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，在此基礎(chǔ)上，只要∠ABC₁=90°，四邊形ABC₁D₁就是矩形，即∠B₁BC₁=60°，然后利用勾股定理列方程計(jì)算．

解答 解：（1）是．如圖①，

∵△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）是．如圖②，

∵∠ABD=∠C₁D₁B₁=30°
∴AB∥C₁D₁，
又∵AB=C₁D₁，
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形；
（3）如圖③，

由（2）知四邊形ABC₁D₁是平行四邊形
∴只要使∠ABC₁=90°，四邊形ABC₁D₁即為矩形
∴∠B₁BC₁=60°∴∠BC₁B₁=30°
設(shè)BB₁=x，則 BC₁=2x，
由勾股定理得：$B{C_1}^2-B{B_1}^2={B_1}{C_1}^2$，
即 （2x）²-x²=3²
解得：$x=\sqrt{3}$，
∴當(dāng)點(diǎn)B的移動距離為$\sqrt{3}$時四邊形ABC₁D₁為矩形．

點(diǎn)評 本題考查了平移變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，難度適中．熟練掌握全等三角形、平行四邊形、矩形的判定定理及性質(zhì)定理是關(guān)鍵．