Question

5．已知菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠BAD=120°，AC=4，則該菱形的面積是（　　）

• A． 16$\sqrt{3}$
• B． 8$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 由菱形的性質(zhì)得出AB=BC，OA=$\frac{1}{2}$AC=2，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，再證明△ABC是等邊三角形，得出AB=AC=4，根據(jù)勾股定理求出OB，得出BD，由菱形的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=$\frac{1}{2}$AC=2，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=4，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2OB=4$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
故選：B．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形面積的計算；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．