Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O為坐標原點，點C在x軸的正半軸上，且BC⊥OC于點C，OA=$\frac{1}{2}$OC=4，∠AOC=∠B=60°，點D是線段OC中點，連接AD．
（1）求點B的坐標；
（2）平行于AD的直線l從原點O出發(fā)，沿x軸正方向平移．設(shè)直線l被四邊形OABC截得的線段長為m，直線l與x軸交點的橫坐標為t．
①若t=6，請直接寫出此時直線l被四邊形OABC截得的線段長m的值；
②當直線l與線段AB相交時（交點不與點A，B重合），請求出m與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）如圖2中，作AM⊥OD于M，作AN⊥BC于點N，首先證明四邊形AMCN是矩形，△AOD是等邊三角形，求出AM，CM，在Rt△ABN中，求出BN即可解決問題．
（2）①如圖3中延長BA交x軸于P，直線l交x軸于F，交AB于E．分別解直角三角形△BCP，△EFP即可；
②當6≤t≤12時，在Rt△PEF中，EF=$\frac{1}{2}$PF，延長即可解決問題；

解答 解：（1）如圖2中，作AM⊥OD于M，作AN⊥BC于點N，
∵OA=4，OC=8，OD=DC，
∴OA=OD=4，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∵BC⊥OC，
∴∠AMC=∠ANC=∠NCM=90°，
∴四邊形AMCN是矩形，
∴AM=CN=2$\sqrt{3}$，CM=AN=6，
在Rt△ABN中，BN=AN•tan30°=2 $\sqrt{3}$，AB=2BN=4$\sqrt{3}$，
∴BC=BN+CN=4 $\sqrt{3}$，
∴點B的坐標為（8，4 $\sqrt{3}$）．

（2）①如圖3中，延長BA交x軸于P，直線l交x軸于F，交AB于E．
∵∠BPC=30°，∠PDA=60°，
∴∠PAD=90°，
∵EF∥AD，
∴∠PEF=∠PAD=90°，
在Rt△PBC中，PC=BC•tan60°=12，
∴OP=PC-OC=4，
∵t=6，
∴OF=6，PF=10，
在Rt△PEC中，EF=$\frac{1}{2}$PF=5．

②當6≤t≤12時，在Rt△PEF中，EF=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{1}{2}$（t+4）=$\frac{1}{2}$t+2．

點評 本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．